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第 15 章（第1页）

第15章

暮春的阳光斜斜照进图书馆，在木质桌面上切割出明暗交界线。许知鸢盯着面前摊开的2023年全国乙卷数学真题，最後一道导数题的题干像密密麻麻的密码："已知函数f（x）=e^x-ax，若f（x）有两个零点x_1，x_2，证明x_1+x_2>2......"笔尖悬在草稿纸上迟迟未落，她听见身旁传来熟悉的翻书声。

林执推来杯温热的蜂蜜柠檬茶，指尖残留着淡淡的油墨香。"这道题用构造函数法更直观。"她抽出张新的草稿纸，蓝色钢笔字迹力透纸背，"首先对f（x）求导，f'（x）=e^x-a，当aleq0时函数单调递增，不可能有两个零点，所以a>0。"

许知鸢强迫自己专注在推导过程上，看着林执在纸上画出f（x）的草图："令f'（x）=0，得到极值点x=lna。因为f（x）有两个零点x_1，x_2，不妨设x_1&lt;lna<x_2。"少女突然凑近，发梢扫过许知鸢手背，"这里要注意，根据零点定义有e^{x_1}=ax_1，e^{x_2}=ax_2，两式相除......"

"等一下！"许知鸢突然举手，心跳快得几乎要冲出胸腔。她深吸一口气，指着草稿纸上的式子："相除後得到e^{x_2-x_1}=frac{x_2}{x_1}，设t=frac{x_2}{x_1}&gt;1，那麽x_2-x_1=lnt，这个代换是为了把双变量问题转化成单变量？"

"完全正确！"林执眼睛发亮，在旁边画了个大拇指的简笔画，"接下来用t表示x_1和x_2，x_1=frat}{t-1}，x_2=frac{tlnt}{t-1}。要证明x_1+x_2&gt;2，即证frac{（t+1）lnt}{t-1}&gt;2。"她顿了顿，突然用红笔圈出关键步骤："这里构造新函数g（t）=lnt-frac{2（t-1）}{t+1}，对g（t）求导......"

许知鸢盯着g'（t）=frac{1}{t}-frac{4}{（t+1）^2}=frac{（t-1）^2}{t（t+1）^2}的推导过程，强迫自己用理性分析压制内心的波澜。林执的声音像精准的导航："因为t&gt;1时，g'（t）&gt;0，所以g（t）在（1，+infty）上单调递增。又因为g（1）=0，所以g（t）&gt;g（1）=0，原不等式得证。"

"但是......"许知鸢突然开口，"如果用对数平均不等式，是不是可以更简洁？由e^{x_1}=ax_1，e^{x_2}=ax_2推出frac{e^{x_2}-e^{x_1}}{x_2-x_1}=a，根据对数平均不等式frac{x_1+x_2}{2}&gt;frac{x_2-x_1}{lnx_2-lnx_1}......"

"你居然会想到这个，很聪明。"林执惊喜地拍了下桌子，震得茶杯里的柠檬片轻轻摇晃，"不过要注意，使用对数平均不等式需要先证明。我们可以课後用拉格朗日中值定理......"她的声音渐渐变成背景音，许知鸢望着草稿纸上交织的公式，突然发现那些复杂的符号与林执专注讲解时的眉眼，竟意外地和谐。

窗外的麻雀扑棱棱飞过，在阳光下投下转瞬即逝的影子。许知鸢强迫自己将注意力拉回题目，指着解析中的步骤追问："这里求g（t）二阶导数判断凹凸性，是不是为了验证函数增长趋势？"林执立刻来了精神，抽出新的草稿纸开始画函数图像，笔尖在纸面沙沙作响，将抽象的数学概念转化成具象的曲线。

暮色渐浓时，整道题的三种解法铺满桌面。林执收拾草稿纸时，不小心将钢笔滚到许知鸢脚边。两人同时弯腰去捡，发梢在空中轻轻纠缠。许知鸢触电般直起身，却听见林执轻声说："其实数学和物理很像，再复杂的问题，找到平衡点就能迎刃而解。"

走出图书馆时，晚风带着白玉兰的香气。许知鸢攥紧书包带，在心里反复默念求导公式和不等式定理，试图用严谨的数学逻辑压制莫名的悸动。路灯次第亮起，将两人的影子拉得很长，她刻意与林执保持半步距离，却在转角处不自觉回头——少女正对着天空比划抛物线的轨迹，发间别着的鸢尾花发卡，在月光下泛着温柔的光。

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